着色器常用数学
2026/3/23大约 10 分钟
本文整理了 Godot 4.x 官方文档中的 Shading Language 参考，是游戏开发中 Shader 编程的数学基础汇总。
1. 基础数学函数
1.1 绝对值与取整
abs() - 绝对值
返回参数的绝对值。
float abs(float x)
vec2 abs(vec2 x)
vec3 abs(vec3 x)
vec4 abs(vec4 x)示例：
void fragment() {
float value = abs(-5.0); // 结果: 5.0
vec2 dir = abs(vec2(-1.0, 2.0)); // 结果: vec2(1.0, 2.0)
}应用场景：计算距离、确保值为正、镜像效果。
floor() - 向下取整
返回小于或等于参数的最大整数。
float floor(float x)
vec2 floor(vec2 x)示例：
void fragment() {
float f = floor(3.7); // 结果: 3.0
float g = floor(-2.3); // 结果: -3.0
}应用场景：创建像素化效果、网格对齐、步进动画。
ceil() - 向上取整
返回大于或等于参数的最小整数。
float ceil(float x)
vec2 ceil(vec2 x)示例：
void fragment() {
float c = ceil(2.1); // 结果: 3.0
float d = ceil(-4.8); // 结果: -4.0
}round() - 四舍五入
返回最接近参数的整数。
float round(float x)示例：
void fragment() {
float r = round(2.5); // 结果: 2.0 (Banker's rounding)
float s = round(2.4); // 结果: 2.0
}注意：Godot 使用 Banker's rounding（银行家舍入），即对 .5 的情况舍入到偶数。
fract() - 取小数部分
返回参数的小数部分。
float fract(float x)公式：fract(x) = x - floor(x)
示例：
void fragment() {
float f = fract(3.14159); // 结果: 0.14159
float g = fract(-1.5); // 结果: 0.5
}应用场景：创建重复图案、UV动画、环形渐变。
1.2 极值与限制
min() - 最小值
返回两个值中的较小者。
float min(float x, float y)
vec2 min(vec2 x, vec2 y)示例：
void fragment() {
float m = min(3.0, 5.0); // 结果: 3.0
vec2 v = min(vec2(1.0, 3.0), vec2(2.0, 0.0)); // 结果: vec2(1.0, 0.0)
}max() - 最大值
返回两个值中的较大者。
float max(float x, float y)示例：
void fragment() {
float m = max(3.0, 5.0); // 结果: 5.0
}clamp() - 限制范围
将值限制在指定范围内。
float clamp(float x, float min_val, float max_val)公式：clamp(x, min, max) = min(max(x, min_val), max_val)
示例：
void fragment() {
float c = clamp(0.8, 0.0, 1.0); // 结果: 0.8
float d = clamp(-0.5, 0.0, 1.0); // 结果: 0.0
float e = clamp(2.0, 0.0, 1.0); // 结果: 1.0
}应用场景：颜色插值、强度限制、动画平滑。
step() - 阶梯函数
如果 x >= edge 返回 1.0，否则返回 0.0。
float step(float edge, float x)示例：
void fragment() {
float s = step(0.5, 0.8); // 结果: 1.0
float t = step(0.5, 0.3); // 结果: 0.0
}应用场景：创建硬边缘过渡、阈值效果、卡通渲染。
1.3 插值函数
mix() - 线性插值
在两个值之间进行线性插值。
float mix(float x, float y, float alpha)
vec2 mix(vec2 x, vec2 y, float alpha)公式：mix(x, y, a) = x * (1 - a) + y * a
参数说明：
x: 起始值y: 结束值alpha: 插值因子，0.0 返回 x，1.0 返回 y
示例：
void fragment() {
vec3 color_start = vec3(1.0, 0.0, 0.0); // 红色
vec3 color_end = vec3(0.0, 0.0, 1.0); // 蓝色
vec3 blended = mix(color_start, color_end, 0.5); // 紫色
}应用场景：颜色渐变、位置插值、动画过渡。
lerp() - 线性插值
与 mix() 功能相同，是 GLSL ES 3.0 的别名。
float lerp(float x, float y, float alpha)smoothstep() - 平滑插值
使用 Hermite 插值实现平滑过渡。
float smoothstep(float edge0, float edge1, float x)特性：
- 当
x <= edge0时返回 0.0 - 当
x >= edge1时返回 1.0 - 在
edge0和edge1之间进行平滑插值
公式：
t = clamp((x - edge0) / (edge1 - edge0), 0.0, 1.0)
result = t * t * (3.0 - 2.0 * t)示例：
void fragment() {
float s = smoothstep(0.0, 1.0, 0.3); // 结果: ~0.216
float t = smoothstep(0.0, 1.0, 0.7); // 结果: ~0.784
}应用场景：抗锯齿边缘、柔和渐变、卡通描边。
2. 三角函数
2.1 基础三角函数
sin() - 正弦
返回角度的 sine 值。
float sin(float angle)参数：角度（弧度）
示例：
void fragment() {
float s = sin(3.14159 / 2.0); // 结果: ~1.0
}cos() - 余弦
返回角度的 cosine 值。
float cos(float angle)示例：
void fragment() {
float c = cos(0.0); // 结果: 1.0
}tan() - 正切
返回角度的 tangent 值。
float tan(float angle)2.2 反三角函数
asin() - 反正弦
返回 sine 值为 x 的角度。
float asin(float x) // 返回范围: [-PI/2, PI/2]acos() - 反余弦
返回 cosine 值为 x 的角度。
float acos(float x) // 返回范围: [0, PI]atan() - 反正切
返回 tangent 值为 y/x 的角度。
float atan(float y, float x) // 返回范围: [-PI, PI]示例：
void fragment() {
float angle = atan(1.0, 1.0); // 结果: PI/4 (45度)
}2.3 实用技巧
创建圆形
shader_type canvas_item;
void fragment() {
vec2 center = vec2(0.5, 0.5);
float radius = 0.4;
// 计算到中心的距离
float dist = length(UV - center);
// 使用 step 创建圆形边缘
float circle = step(radius, dist);
COLOR = vec4(vec3(circle), 1.0);
}创建环形
void fragment() {
vec2 center = vec2(0.5, 0.5);
float inner_radius = 0.2;
float outer_radius = 0.4;
float dist = length(UV - center);
float ring = step(inner_radius, dist) * step(dist, outer_radius);
COLOR = vec4(vec3(ring), 1.0);
}波浪效果
void fragment() {
float wave = sin(UV.y * 10.0 + TIME * 2.0) * 0.1 + 0.5;
COLOR = vec4(vec3(wave), 1.0);
}3. 向量运算
3.1 点乘 (Dot Product)
dot()
计算两个向量的点积。
float dot(vec2 x, vec2 y)
float dot(vec3 x, vec3 y)
float dot(vec4 x, vec4 y)公式：
- 2D:
dot(a, b) = a.x * b.x + a.y * b.y - 3D:
dot(a, b) = a.x * b.x + a.y * b.y + a.z * b.z
几何意义：
dot(v1, v2) = |v1| * |v2| * cos(theta)- 当返回值为 0 时，两向量垂直
- 当返回值 > 0 时，两向量夹角小于 90 度
- 当返回值 < 0 时，两向量夹角大于 90 度
示例：
void fragment() {
vec2 a = vec2(1.0, 0.0);
vec2 b = vec2(0.707, 0.707);
float d = dot(a, b); // 结果: ~0.707
}应用场景：
- 判断方向（正面/背面）
- 光照计算（漫反射）
- 向量投影
3.2 叉乘 (Cross Product)
cross()
计算两个向量的叉积（仅 3D 向量）。
vec3 cross(vec3 x, vec3 y)公式：
cross(a, b) = vec3(
a.y * b.z - a.z * b.y,
a.z * b.x - a.x * b.z,
a.x * b.y - a.y * b.x
)几何意义：
- 返回一个与两向量垂直的新向量
- 方向遵循右手定则
- 大小：
|cross| = |a| * |b| * sin(theta)
示例：
void fragment() {
vec3 right = vec3(1.0, 0.0, 0.0);
vec3 forward = vec3(0.0, 0.0, 1.0);
vec3 up = cross(right, forward); // 结果: vec3(0.0, 1.0, 0.0)
}应用场景：
- 计算法线
- 确定方向转向
- 3D 空间中的垂直向量
3.3 长度与归一化
length()
计算向量的长度（模）。
float length(vec2 v)
float length(vec3 v)
float length(vec4 v)公式：length(v) = sqrt(v.x * v.x + v.y * v.y + ...)
示例：
void fragment() {
float len = length(vec2(3.0, 4.0)); // 结果: 5.0
}normalize()
返回方向相同但长度为 1 的单位向量。
vec2 normalize(vec2 v)
vec3 normalize(vec3 v)公式：normalize(v) = v / length(v)
示例：
void fragment() {
vec2 dir = normalize(vec2(3.0, 4.0)); // 结果: vec2(0.6, 0.8)
}注意：不要对零向量使用 normalize，会导致除零错误。
安全版本：
vec2 safe_normalize(vec2 v) {
float len = length(v);
return len > 0.0 ? v / len : vec2(0.0);
}3.4 距离
distance()
计算两点之间的距离。
float distance(vec2 a, vec2 b)
float distance(vec3 a, vec3 b)公式：distance(a, b) = length(a - b)
示例：
void fragment() {
float dist = distance(vec2(0.0, 0.0), vec2(3.0, 4.0)); // 结果: 5.0
}3.5 其他向量函数
reflect() - 反射
vec2 reflect(vec2 I, vec2 N) // I: 入射方向, N: 法线
vec3 reflect(vec3 I, vec3 N)公式：reflect(I, N) = I - 2.0 * dot(N, I) * N
示例：
void fragment() {
vec3 I = vec3(1.0, -1.0, 0.0); // 入射方向
vec3 N = vec3(0.0, 1.0, 0.0); // 法线
vec3 R = reflect(I, N); // 反射方向
}refract() - 折射
vec3 refract(vec3 I, vec3 N, float eta)参数：eta = n1 / n2（折射率比值）
4. 矩阵运算基础
4.1 矩阵类型
Godot Shader 中的矩阵类型：
mat2 // 2x2 矩阵
mat3 // 3x3 矩阵
mat4 // 4x4 矩阵4.2 矩阵乘法
mat2 result = mat2 * mat2
vec2 result = mat2 * vec24.3 常用矩阵
单位矩阵
mat2 identity = mat2(1.0, 0.0, 0.0, 1.0);
mat3 identity = mat3(1.0);
mat4 identity = mat4(1.0);旋转矩阵
// 2D 旋转
mat2 rotation(float angle) {
float s = sin(angle);
float c = cos(angle);
return mat2(c, -s, s, c);
}缩放矩阵
// 2D 缩放
mat2 scale(vec2 s) {
return mat2(s.x, 0.0, 0.0, s.y);
}4.4 变换函数
transform() - 向量变换
vec3 transformed = transform(mat4, vec3)5. 噪声函数
5.1 随机数
1D 随机
float random(float x) {
return fract(sin(x) * 43758.5453);
}
void fragment() {
float r = random(1.0); // 0.0~1.0 之间的随机值
}2D 随机
float random(vec2 st) {
return fract(sin(dot(st.xy, vec2(12.9898, 78.233))) * 43758.5453);
}5.2 值噪声 (Value Noise)
float noise(vec2 st) {
vec2 i = floor(st);
vec2 f = fract(st);
// 四个角的随机值
float a = random(i);
float b = random(i + vec2(1.0, 0.0));
float c = random(i + vec2(0.0, 1.0));
float d = random(i + vec2(1.0, 1.0));
// 平滑插值
vec2 u = f * f * (3.0 - 2.0 * f);
return mix(a, b, u.x) + (c - a) * u.y * (1.0 - u.x) + (d - b) * u.x * u.y;
}
void fragment() {
float n = noise(UV * 10.0);
COLOR = vec4(vec3(n), 1.0);
}5.3 梯度噪声 (Gradient Noise)
vec2 hash(vec2 p) {
p = vec2(dot(p, vec2(127.1, 311.7)), dot(p, vec2(269.5, 183.3)));
return -1.0 + 2.0 * fract(sin(p) * 43758.5453123);
}
float gradient_noise(vec2 p) {
vec2 i = floor(p);
vec2 f = fract(p);
vec2 u = f * f * (3.0 - 2.0 * f);
return mix(mix(dot(hash(i + vec2(0.0, 0.0)), f - vec2(0.0, 0.0)),
dot(hash(i + vec2(1.0, 0.0)), f - vec2(1.0, 0.0)), u.x),
mix(dot(hash(i + vec2(0.0, 1.0)), f - vec2(0.0, 1.0)),
dot(hash(i + vec2(1.0, 1.0)), f - vec2(1.0, 1.0)), u.x), u.y);
}5.4 FBM (分形布朗运动)
float fbm(vec2 st) {
float value = 0.0;
float amplitude = 0.5;
float frequency = 1.0;
for (int i = 0; i < 6; i++) {
value += amplitude * noise(st * frequency);
frequency *= 2.0;
amplitude *= 0.5;
}
return value;
}
void fragment() {
float pattern = fbm(UV * 4.0);
COLOR = vec4(vec3(pattern), 1.0);
}参数说明：
octaves: 叠加的噪声层数（通常 4-6）amplitude: 振幅，每层递减frequency: 频率，每层倍增
应用场景：
- 地形生成
- 云朵效果
- 纹理混合
- 艺术化渲染
6. 空间变换
6.1 坐标系统
世界坐标 (World Space)
物体在游戏世界中的绝对位置。
局部坐标 (Local Space)
相对于父节点的相对位置。
UV 坐标 (UV Space)
2D 纹理上的像素位置，范围通常为 [0, 1]。
void fragment() {
// UV 从左下角 (0,0) 到右上角 (1,1)
vec2 uv = UV;
// 居中后的 UV，范围 [-0.5, 0.5]
vec2 centered = UV - 0.5;
}6.2 坐标变换函数
缩放 UV
void fragment() {
vec2 scaled_uv = UV * 2.0; // 放大 2 倍
}偏移 UV
void fragment() {
vec2 offset_uv = UV + vec2(0.1, 0.2); // 偏移
}旋转 UV
void fragment() {
float angle = TIME;
mat2 rotation = mat2(cos(angle), -sin(angle), sin(angle), cos(angle));
vec2 rotated_uv = rotation * (UV - 0.5) + 0.5;
}6.3 3D 空间变换
// 在顶点着色器中使用
void vertex() {
// 模型到世界
vec4 world_pos = MODEL_MATRIX * vec4(VERTEX, 1.0);
// 世界到视图
vec4 view_pos = VIEW_MATRIX * world_pos;
// 投影
vec4 clip_pos = PROJECTION_MATRIX * view_pos;
}7. 实用数学技巧
7.1 使用 sin/cos 创建圆形
shader_type canvas_item;
void fragment() {
vec2 center = vec2(0.5, 0.5);
vec2 pos = UV - center;
// 使用 atan 和 sin/cos 创建圆
float angle = atan(pos.y, pos.x);
float radius = 0.3 + sin(angle * 6.0) * 0.05;
float circle = 1.0 - smoothstep(radius, radius + 0.01, length(pos));
COLOR = vec4(vec3(circle), 1.0);
}7.2 使用 mod 创建重复图案
网格图案
void fragment() {
vec2 tiled = fract(UV * 10.0);
float grid = step(0.95, tiled.x) + step(0.95, tiled.y);
COLOR = vec4(vec3(grid), 1.0);
}砖墙图案
void fragment() {
vec2 brick = UV * vec2(6.0, 12.0);
brick.x += step(1.0, mod(brick.y, 2.0)) * 0.5;
brick = fract(brick);
float pattern = step(0.05, brick.x) * step(0.05, brick.y);
COLOR = vec4(vec3(pattern), 1.0);
}7.3 极坐标变换
void fragment() {
vec2 center = vec2(0.5, 0.5);
vec2 delta = UV - center;
// 转换为极坐标
float radius = length(delta);
float angle = atan(delta.y, delta.x);
// 归一化角度到 [0, 1]
angle = (angle + 3.14159) / (2.0 * 3.14159);
// 使用极坐标创建效果
float pattern = sin(angle * 20.0) * sin(radius * 30.0);
COLOR = vec4(vec3(pattern * 0.5 + 0.5), 1.0);
}7.4 平滑边缘
void fragment() {
vec2 center = vec2(0.5, 0.5);
float radius = 0.4;
float dist = length(UV - center);
// 抗锯齿边缘
float alpha = 1.0 - smoothstep(radius - 0.01, radius + 0.01, dist);
COLOR = vec4(1.0, 0.5, 0.0, alpha);
}7.5 条纹动画
void fragment() {
float stripe = sin(UV.y * 20.0 + TIME * 5.0);
stripe = stripe * 0.5 + 0.5; // 归一化到 [0, 1]
COLOR = vec4(vec3(stripe), 1.0);
}7.6 脉冲效果
void fragment() {
float pulse = sin(TIME * 3.0) * 0.5 + 0.5;
vec2 center = vec2(0.5, 0.5);
float dist = length(UV - center);
// 脉冲扩散效果
float wave = sin(dist * 20.0 - TIME * 5.0) * 0.5 + 0.5;
float alpha = smoothstep(pulse, pulse - 0.1, wave);
COLOR = vec4(vec3(alpha), 1.0);
}7.7 颜色通道分离
void fragment() {
float offset = sin(TIME * 2.0) * 0.02;
float r = texture(TEXTURE, UV + vec2(offset, 0.0)).r;
float g = texture(TEXTURE, UV).g;
float b = texture(TEXTURE, UV - vec2(offset, 0.0)).b;
COLOR = vec4(r, g, b, 1.0);
}附录：常用常量
const float PI = 3.14159265359; // 圆周率
const float TAU = 6.28318530718; // 2 * PI
const float DEG_TO_RAD = PI / 180.0; // 度转弧度
const float RAD_TO_DEG = 180.0 / PI; // 弧度转度
const float SQRT2 = 1.41421356237; // 平方根 2
const float INF = 1e10; // 无穷大